\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题13 \\ Markowitz 均值-方差模型与有效前沿}
%\date{2025年10月14日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍Markowitz均值方差模型和有效前沿的计算方法。}

\tableofcontents

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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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\section{Markowitz 均值-方差模型简介}

由哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出的\textbf{均值-方差模型}（Mean-Variance Model）是现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory, MPT）的基石。该模型首次将数学优化方法引入投资组合选择，强调通过资产间的分散化（Diversification）来在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定收益目标下最小化风险。

\subsection{基本思想}

\textbf{收益}：用投资组合的期望收益率（均值）衡量。

\textbf{风险}：用投资组合收益率的方差（或标准差）衡量。

投资者是风险厌恶型的，在相同风险下偏好更高收益，在相同收益下偏好更低风险。


\section{模型设定}

考虑 $n$ 个风险资产，其收益率向量为 $\mathbf{r} = (r_1, r_2, \dots, r_n)^\top$。

\begin{itemize}
    \item $\boldsymbol{\mu} = \mathbb{E}[\mathbf{r}]$：期望收益率向量。
    \item $\boldsymbol{\Sigma}$：协方差矩阵，$\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = \mathrm{Cov}(r_i, r_j)$。
    \item $\mathbf{w} = (w_1, w_2, \dots, w_n)^\top$：投资组合权重向量，满足 $\sum_{i=1}^n w_i = 1$（允许卖空）。
\end{itemize}

投资组合的期望收益率和方差为：
\[
\mu_p = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu}, \quad \sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}
\]


\section{有效前沿（Efficient Frontier）}

\textbf{有效前沿}是指在所有可能的投资组合中，那些在给定风险水平下提供最高预期收益，或在给定收益水平下具有最低风险的投资组合的集合。位于有效前沿上的组合称为\textbf{有效组合}。

\subsection{计算有效前沿}

有效前沿可通过求解以下优化问题得到：

\[
\begin{aligned}
\min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \\
\text{s.t.} \quad & \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu} = \mu_p \\
& \mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1
\end{aligned}
\]

其中 $\mu_p$ 是目标期望收益率。通过改变 $\mu_p$ 的值，求解一系列优化问题，即可得到整个前沿曲线。

\subsubsection{解析解（无卖空限制）}

在允许卖空且无其他约束的条件下，有效前沿有解析解。定义：
\[
A = \mathbf{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}, \quad 
B = \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}, \quad 
C = \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}
\]
则有效前沿满足：
\[
\sigma_p^2 = \frac{A \mu_p^2 - 2B \mu_p + C}{AC - B^2}
\]
这是一条在均值-标准差平面上的双曲线。


\section{全局最小方差组合}

有效前沿上风险最小的点称为\textbf{全局最小方差组合}（Global Minimum Variance Portfolio, GMVP），其权重为：
\[
\mathbf{w}_{\text{gmv}} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}}
\]

\section{示意图}

% \begin{figure}[h]
% \centering
% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{efficient_frontier.png}
% \caption{有效前沿示意图（横轴：标准差，纵轴：期望收益率）}
% \end{figure}

图中：

曲线为有效前沿。

点 $M$ 为全局最小方差组合。

点 $P$ 为任意可行组合。

有效前沿上 $M$ 右侧的部分为\textbf{有效集}。

\section{总结}

Markowitz 模型奠定了量化投资的基础，其核心是通过协方差结构优化风险-收益权衡。尽管存在对输入参数（尤其是期望收益）敏感等局限，它仍是资产配置、风险管理等领域的重要工具。

\end{document}
